Một ma trận tương tự như ma trận tam giác được gọi là ma trận tam giác. Tóm lại, điều này tương đương với việc ổn định cờ: ma trận tam giác trên chính xác là những ma trận bảo tồn cờ tiêu chuẩn, được đưa ra bởi cơ sở được sắp xếp theo tiêu chuẩn ( e 1 , … , e n ) {\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})} và cờ kết quả 0 < ⟨ e 1 ⟩ < ⟨ e 1 , e 2 ⟩ < ⋯ < ⟨ e 1 , … , e n ⟩ = K n . {\displaystyle 0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.} Tất cả các cờ được liên hợp (vì nhóm tuyến tính chung hoạt động liên tục trên các cơ sở), do đó, bất kỳ ma trận nào ổn định cờ đều tương tự như một cờ ổn định cờ tiêu chuẩn.

Bất kỳ ma trận vuông phức tạp là tam giác.[1] Trong thực tế, ma trận A trên một trường chứa tất cả các giá trị riêng của A (ví dụ: bất kỳ ma trận nào trên trường đóng đại số) tương tự như ma trận tam giác. Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng cảm ứng trên thực tế rằng A có một hàm riêng, bằng cách lấy khoảng trống thương lượng của hàm riêng và đặt ra để cho thấy rằng A ổn định một cờ, và do đó có thể hình tam giác đối với cơ sở cho cờ đó.

Một tuyên bố chính xác hơn được đưa ra bởi định lý dạng bình thường Jordan, trong đó nêu rõ rằng trong tình huống này, A tương tự như một ma trận tam giác trên có dạng rất đặc biệt. Tuy nhiên, kết quả tam giác đơn giản hơn thường là đủ, và trong mọi trường hợp được sử dụng để chứng minh định lý dạng bình thường Jordan.[1][2]

Trong trường hợp ma trận phức, có thể nói nhiều hơn về phép tam giác hóa, cụ thể là, bất kỳ ma trận vuông A nào cũng có phân rã Schur. Điều này có nghĩa là A tương đương một cách phi thực tế (nghĩa là tương tự, sử dụng ma trận đơn vị làm thay đổi cơ sở) thành ma trận tam giác trên; điều này theo sau bằng cách lấy một cơ sở Hermiti cho cờ.

Tam giác hóa đồng thời

Một tập hợp các ma trận A 1 , … , A k {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}} được cho là tam giác hóa đồng thời được nếu có một cơ sở mà tất cả chúng đều là tam giác trên; tương tự, nếu chúng có dạng tam giác trên bởi một ma trận tương tự duy nhất P. Một tập hợp ma trận như vậy dễ hiểu hơn bằng cách xem xét đại số của ma trận mà nó tạo ra, cụ thể là tất cả các đa thức trong A i , {\displaystyle A_{i},} ký hiệu K [ A 1 , … , A k ] . {\displaystyle K[A_{1},\ldots ,A_{k}].} Khả năng tam giác đồng thời có nghĩa là đại số này được liên hợp thành tiểu phần Lie của ma trận tam giác trên và tương đương với đại số này là một đại số Lie của một tiểu cơ Borel.

Kết quả cơ bản là (trên một trường đóng đại số), các ma trận đi lại A , B {\displaystyle A,B} hay nói chung hơn A 1 , … , A k {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}} đồng thời là hình tam giác. Điều này có thể được chứng minh bằng cách đầu tiên cho thấy các ma trận đi lại có một hàm riêng, và sau đó đặt vào kích thước như trước. Điều này đã được chứng minh bởi Frobenius, bắt đầu từ năm 1878 cho một cặp đi lại, như được thảo luận tại các ma trận đi lại. Đối với một ma trận đơn, trên các số phức, chúng có thể được tam giác hóa bằng các ma trận đơn vị.

Việc các ma trận đi lại có một hàm riêng chung có thể được hiểu là kết quả của Nullstellensatz của Hilbert: ma trận đi lại tạo thành một đại số giao hoán K [ A 1 , … , A k ] {\displaystyle K[A_{1},\ldots ,A_{k}]} kết thúc K [ x 1 , … , x k ] {\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{k}]} có thể được hiểu là một loạt trong không gian affine k -chiều, và sự tồn tại của một giá trị riêng (chung) (và do đó là một hàm riêng chung) tương ứng với giống này có một điểm (không trống), đó là nội dung của (yếu) Nullstellensatz. Trong thuật ngữ đại số, các toán tử này tương ứng với một đại diện đại số của đại số đa thức trong k biến.

Điều này được khái quát hóa bởi định lý của Charlie, cho thấy rằng bất kỳ đại diện nào của đại số Lie có thể giải được đồng thời là tam giác trên, trường hợp ma trận đi lại là trường hợp đại số Lie abelian, abelian là một fortiori có thể giải được.

Nói chung và chính xác hơn, một tập hợp các ma trận A 1 , … , A k {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}} đồng thời là tam giác khi và chỉ khi ma trận p ( A 1 , … , A k ) [ A i , A j ] {\displaystyle p(A_{1},\ldots ,A_{k})[A_{i},A_{j}]} là nilpotent cho tất cả các đa thức p trong k biến không biến đổi, trong đó [ A i , A j ] {\displaystyle [A_{i},A_{j}]} là bộ chuyển mạch; để đi lại A i {\displaystyle A_{i}} cổ góp biến mất để giữ này. Điều này đã được chứng minh trong (Drazin, Dungey & Gruenberg 1951)Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFDrazinDungeyGruenberg1951 (trợ giúp); một bằng chứng ngắn gọn được đưa ra trong (Prasolov 1994)Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFPrasolov1994 (trợ giúp). Một hướng là rõ ràng: nếu các ma trận đồng thời là tam giác, thì [ A i , A j ] {\displaystyle [A_{i},A_{j}]} là tam giác trên hoàn toàn (do đó là nilpotent), được bảo toàn bằng cách nhân với bất kỳ A k {\displaystyle A_{k}} hoặc kết hợp chúng - nó vẫn sẽ có 0 trên đường chéo trong cơ sở tam giác hóa.